Suite de Syracuse

Voici un algorithme permettant de générer une suite connue sous le nom de suite de Syracuse.

•  Choisir un nombre initial.
  
• Si ce nombre est pair,  le diviser par 2, sinon le multiplier par 3 et ajouter 1.
  
• Recommencer avec le nombre obtenu.

Exemple avec 23 comme nombre initial

• \(23\) est impair, donc le nombre suivant est \(3×23+1=70\)
  
• \(70\) est pair, donc le nombre suivant est \(35\)
  
• \(35\)  est impair, donc le nombre suivant est \(3×35+1=106\)
  
• En réitérant on obtient la suite : \(23 ; 35 ; 70  ; 106;   53  ; 160;   80 ;  40   ;20  ; 10 ;  5   ;16\) etc …

 1. Avec un tableur, créer une feuille de calcul telle que :

• la colonne A donne le rang ;
  
• écrire \(23\) dans la cellule B1.
  

Dans la cellule B2, écrire la formule suivante, que l'on recopiera vers le bas :  B2 :  =SI(ENT(B1/2)=B1/2 ; B1/2 ; 3*B1+1)

 2. Expliquer ce que calcule cette formule et pourquoi.

3. En partant du nombre   \(23\)   , que se passe-t-il à partir du rang \(18\) ?

4. Dans la colonne C, générer une suite de Syracuse avec \(93\) comme nombre initial. Pour cela, il suffit d'écrire \(93\) dans C1, de recopier vers la droite la formule de B2 dans C2, puis de recopier vers le bas la cellule C2. Que se passe-t-il ?

5. En utilisant à chaque fois une nouvelle colonne, générer les suites de Syracuse en partant des nombres suivants :  \(89         ; 71      ;      88     ;       91    ;         83    ;        31    ;      15\,847\,961 ;          1\,000\,000\,000\)

6. Pour lesquelles de ces suites le phénomène numérique observé précédemment ne se produit pas ?

7. Chercher un nombre initial pour lequel le phénomène numérique ne se produit pas.

8. On considère que la suite s'arrête dès que le phénomène numérique apparaît. On appelle durée du vol de la suite le nombre de termes qu'elle contient jusqu'à ce que le phénomène numérique se produise pour la 1ère fois.
    a. Chercher un nombre initial permettant d'obtenir une suite de Syracuse avec une durée de vol la plus grande possible.
Attention : un tableur ne peut faire des calculs exacts qu'avec des nombres dont l'écriture décimale comporte 14 chiffres au maximum. Pour s'en convaincre, essayer de demander de calculer 506250000000000×2 !! Aucun nombre de la suite ne doit donc avoir plus de 14 chiffres
    b. À l'aide d'un programme Python, écrire un algorithme qui demande la valeur initiale, calcule les termes de la suite jusqu'à l'atterrissage, et affiche la durée du vol.